Question

3．已知：∠AOB=60°，射线OC绕点O旋转，OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线，求∠DOE的度数．

Answer 1

分析 分类讨论：当OC在∠AOB内部，如图1，根据角平分线定义易得∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，则∠DOE=∠DOC+∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°；当OC在∠AOB外部，且靠近OB，如图2，根据角平分线定义得到∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，则∠DOE=∠COE-∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°；当OC在∠AOB外部，且靠近OA，如图3，同样可得到∠DOE=30°．

解答 解：当OC在∠AOB内部，如图1，

∵OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=$\frac{1}{2}$（∠BOC+∠AOC）=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°；
当OC在∠AOB外部，且靠近OB，如图2，
∵OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠DOE=∠COE-∠COD=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠BOC）=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°；
当OC在∠AOB外部，且靠近OA，如图3，同样可得到∠DOE=30°，
综上所述，∠DOE的度数为30°．

点评 本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．