Question

14．如图，正方形ABCD中，过D作DE∥AC，∠ACE=30°，CE交AD于点F，求证：AE=AF．

Answer 1

分析 连接BD，交AC于点O，作EM⊥AC于点M，由正方形的性质得出AC⊥BD，OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AC，∠DAC=45°，证出四边形ODEM是矩形，得出EM=OD=$\frac{1}{2}$AC，再由三角形的外角性质得出∠AFE=75°，由含30°角的直角三角形的性质得出EM=$\frac{1}{2}$CE，因此AC=EC，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AEF的度数，得出∠AFE=∠AEF，即可得出结论．

解答 证明：连接BD，交AC于点O，作EM⊥AC于点M．如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AC，∠DAC=45°，
∵DE∥AC，
∴四边形ODEM是矩形，
∴EM=OD=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠ACE=30°，
∴∠AFE=∠DAC+∠ACE=75°，EM=$\frac{1}{2}$CE，
∴AC=EC，
∴∠AEF=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACE）=75°，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．

点评 本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、矩形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证出AC=EC是解决问题的关键．