Question

6．如图，AB是⊙O直径，切线CA与⊙O相切于点A，点D在⊙O上，且OD⊥OC，
（1）填空：∠ADB=90°°，理由是直径所对的圆周角是直角；
（2）若⊙O的半径为$\sqrt{5}$，AD=2，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由于AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”可直接得出结论；
（2）首先利用勾股定理得出BD的长，作DE⊥OA，垂足为E，证得△ADB∽△DEB，利用相似三角形的性质可得DE，BE，可得OE，由AC是⊙O的切线，得到AC⊥OA，于是得到∠ACO+∠AOC=90°，又由于OD⊥OC，得到∠AOC+∠AOD=90°，推出△DEO∽△OAC，根据相似三角形的性质可得结果．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
理由是直径所对的圆周角是直角；
故答案为：90°，直径所对的圆周角是直角；

（2）作DE⊥OA，垂足为E，
∵∠ADB=90°，AD=2，AB=2$\sqrt{5}$，
∴BD=4，
∵∠DEB=∠ADB，∠B=∠B，
∴△ADB∽△DEB，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DE}{AD}=\frac{BE}{BD}$，即$\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{DE}{2}=\frac{BE}{4}$，
解得：DE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，BE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴OE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵AC是⊙O的切线，
∴AC⊥OA，
∴∠ACO+∠AOC=90°，
∵OD⊥OC，
∴∠AOC+∠AOD=90°，
∴∠ACO=∠AOD，
∵∠DEO=90°=∠OAC，
∴△DEO∽△OAC，
∴$\frac{DE}{OA}$=$\frac{OE}{AC}$，
∴$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}}{AC}$，
解得：AC=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，作DE⊥OA，构造直角三角形是解题的关键．