Question

12．在△POQ中，∠POQ=120°，∠POQ的平分线OR交PQ于点R．求证：$\frac{1}{OR}$=$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$．

Answer 1

分析 首先过点Q作QH∥OP，交OR的延长线于点H，证得△POR∽△QHR和△HOQ是等边三角形，进一步利用三角形的边关系整理得出答案即可．

解答 解：如图，

过点Q作QH∥OP，交OR的延长线于点H，
∵QH∥OP，
∴△POR∽△QHR，∠POR=∠H，
∴$\frac{HQ}{PO}$=$\frac{HR}{OR}$，
∵∠POQ=120°，∠POQ的平分线OR交PQ于点R，
∴∠POR=∠H=60°，
∴△HOQ是等边三角形，
∴OH=HQ=OQ，
∴$\frac{HQ}{PO}$=$\frac{HR}{OR}$=$\frac{OH-OR}{OR}$=$\frac{OH}{OR}$-1，
∴$\frac{HQ}{PO}$+1=$\frac{OH}{OR}$，
两边同除以OQ得$\frac{1}{OR}$=$\frac{1}{OP}$+$\frac{1}{OQ}$．

点评 此题考查三角形相似的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握三角形相似的判定方法，正确作出辅助线是解决问题的关键．