Question

7．如图，有一管道要横跨一条河流，为了确保船只的通行，要把直管制成弧形，且要求管道距水面的最大高度为6m（即拱形高CD=6m），AB=12$\sqrt{3}$m，至少需要多少米长的直管？

Answer 1

分析 由垂径定理可知AC=6$\sqrt{3}$，在Rt△ACO中利用勾股定理可求得AO=12，由特殊锐角三角函数可知∠AOC=60°，∠AOB=120°，所以管道的长度为$\frac{1}{3}$圆周长．

解答 解：∵OC⊥AB，AB=12$\sqrt{3}$，
∴AC=6$\sqrt{3}$．
设圆O的半径为r，则OA=r，OC=r-6．
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO²=OC²+AC²，即${r}^{2}=（r-6）^{2}+（6\sqrt{3}）^{2}$．
解得：AO=12．
∴$\frac{AC}{AO}=\frac{6\sqrt{3}}{12}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴∠AOC=60°．
∴∠AOB=120°．
∴直管的长度=$\frac{1}{3}×2π×r$=$\frac{1}{3}×2×π×12$=8πm．

点评 本题主要考查的是垂径定理、勾股定理、特殊锐角三角函数值，求得圆O的半径和∠AOB的度数是解题的关键．