Question

16．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB称为碟宽，顶点M称为蝶顶，点M到线段AB的距离称为碟高．
（1）抛物线y=2x²对应的碟宽为1；抛物线y=ax²对应的碟宽为$\frac{2}{a}$；抛物线y=a（x-2）²+4（a＞0）对应的碟宽为$\frac{2}{a}$．
（2）抛物线y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据定义易算出含具体值的抛物线y=2x²的碟宽，利用端点（第一象限）横纵坐标的相等．推广至含字母的抛物线y=ax²（a＞0），类似．而抛物线y=a（x-2）²+4（a＞0）为顶点式，可看成y=ax²平移得到，则发现碟宽只和a有关．
（2）根据（1）的结论，根据碟宽易得关于a的方程$\frac{2}{a}$=6，解方程即可求得a的值．

解答 解：（1）∵a＞0，
∴y=ax²的图象大致如下：

其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．
∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC，
∴x_A=y_A，x_B=y_B，代入y=ax²，
∴A（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），B（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），C（0，$\frac{1}{a}$），
∴AB=$\frac{2}{a}$，OC=$\frac{1}{a}$，
即y=ax²的碟宽为$\frac{2}{a}$．
①抛物线y=2x²对应的a=2，得碟宽$\frac{2}{a}$为1；
②抛物线y=ax²（a＞0），碟宽为$\frac{2}{a}$；
③抛物线y=a（x-2）²+4（a＞0）可看成y=ax²向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的图形，
∵平移不改变形状、大小、方向，
∴抛物线y=a（x-2）²+4（a＞0）的准碟形≌抛物线y=ax²的准碟，
∵抛物线y=ax²（a＞0），碟宽为$\frac{2}{a}$，
∴抛物线y=a（x-2）²+4（a＞0），碟宽为$\frac{2}{a}$．

（2）∵y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$=a（x-2）²-（4a+$\frac{5}{3}$），
∴同（1），其碟宽为$\frac{2}{a}$，
∵y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$的碟宽为6，
∴$\frac{2}{a}$=6，
解得a=$\frac{1}{3}$．
故答案为：1；$\frac{2}{a}$；$\frac{2}{a}$．

点评 本题考查二次函数综合题，题目中主要涉及特殊直角三角形，二次函数解析式与图象性质，解题的关键是由抛物线y=ax²（a＞0），得到碟宽只和a有关，即碟宽为$\frac{2}{a}$．