Question

5．如图，AD是等腰△ABC底边上的高，E、F为AD上两点，且∠ABE=∠EBF=∠FBC，连接CF并延长交AB于点G，求证：
（1）△GBF是等腰三角形；
（2）GE∥BF．

Answer 1

分析 （1）设∠ABE=∠EBF=∠FBC=x，得到∠GBF=2x，由AD是等腰三角形ABC底边上的高，于是得到AD是等腰三角形ABC底边上的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到BF=CF，由等腰三角形的性质得到∠FCB=∠FBC=x，求得∠GFB=∠FCB+∠FBC=2x，推出∠GBF=∠GFB，于是求得结论；
（2）延长FD到H，使DH=DF，连接BH，CH，根据AD垂直平分BC，得到四边形BFCH是平行四边形，根据平行四边形的性质得到CF∥BH，求出BF=CF，推出?BFCH是菱形，求得BH=BF，∠HBF=2∠DBF=∠ABF，根据角平分线定理得到$\frac{AE}{EF}=\frac{AB}{BF}$，$\frac{AF}{FH}=\frac{AB}{BH}$，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{AF}{FH}=\frac{AG}{BG}$，等量代换得到$\frac{AE}{EF}=\frac{AG}{BG}$，即可得到结论．

解答 解：（1）设∠ABE=∠EBF=∠FBC=x，
∴∠GBF=2x，
∵AD是等腰三角形ABC底边上的高，
∴AD是等腰三角形ABC底边上的垂直平分线，
∴BF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=x，
∴∠GFB=∠FCB+∠FBC=2x，
∴∠GBF=∠GFB，
∴GB=GF，
∴△GBF为等腰三角形；
（2）延长FD到H，使DH=DF，连接BH，CH，
∵AD垂直平分BC，
∴四边形BFCH是平行四边形，
∴CF∥BH，
∵BF=CF，∴?BFCH是菱形，
∴BH=BF，∠HBF=2∠DBF=∠ABF，
∵BE平分∠ABF，
根据角平分线定理得：$\frac{AE}{EF}=\frac{AB}{BF}$，
∵BF平分∠ABH，
根据角平分线定理得：$\frac{AF}{FH}=\frac{AB}{BH}$，
∵GF∥BH，
∴$\frac{AF}{FH}=\frac{AG}{BG}$，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AG}{BG}$，
∴GE∥BF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线定理，平行线分线段成比例定理，掌握的作出辅助线是解题的关键．