Question

如图①，已知抛物线C₁：的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求点C的坐标及 a 的值；

（2）如图②，抛物线C₂与C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移4个单位，得到抛物线C₃．C₃与x轴交于点B、E，点P是直线CE上方抛物线C₃上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交CE于点F．

①求线段PF长的最大值；

②若PE＝EF，求点P的坐标．

 

Answer 1

解：（1）顶点C为（－1，－4） ………………………………………1分

∵点B（1，0）在抛物线C₁上，∴，解得，a＝1 ………2分

（2）①∵C₂与C₁关于x轴对称，∴抛物线C₂的表达式为……3分

抛物线C₃由C₂平移得到,∴抛物线C₃为  ……4分

∴E（5，0）

设直线CE的解析式为：y=kx+b，

则，解得，…………………………………………………5分

∴直线BC的解析式为y=x﹣， …………………………………………………6分

设P（x，﹣x²+6x﹣5），则F（x，x﹣），

∴PF=（﹣x²+6x﹣5）﹣（x﹣）=﹣x²+x﹣=﹣（x﹣）²+，………8分

∴当x=时，PF有最大值为．…………………………………………………9分

②若PE＝EF，∵ PF⊥x轴，∴x轴平分PF，

∴﹣x²+6x﹣5＝－x＋，　…………………………………………………10分

解得x₁＝，x₂＝5（舍去）

∴P（，）．