Question

【发现】

如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）

【思考】

如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？

    

小明尝试用反证法：如图③，过A、B、C三点作圆，圆心为O，假设点D在圆O外，设AD交圆O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，又由∠AEB是△BDE的一个外角，得∠AEB＞∠ADB，因此∠ACB＞∠ADB，就与条件∠ACB=∠ADB相矛盾，所以点D不在圆O外。

点D可能在⊙O内吗？，请你补全小明的解题过程（画出示意图）并给出你的结论。

【应用】

利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：

（1）如图④，四边形ABCD是正方形，点E为BC上的任一点，AE⊥EF，EF交∠BCD的外角平分线于点F．求证：EA=EF.

（2）如图⑤，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm².P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.求OP长度

   

    图④                        图⑤

Answer 1

解：【思考】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，

∵∠ADE是△BDE的外角，

∴∠ADB＞∠AEB，

∴∠ADB＞∠ACB，

因此，∠ADB＞∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，------------2分

所以点D也不在⊙O内，

所以点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，点D在⊙O上；------------3分

【应用】

（1）连接AC  AF------------4分

∵正方形ABCD

∴∠ACB=∠ACD=45°   ∠DCG=90°

∵CF平分∠DCG

∴ ∠DCF=45°

∴ ∠ACF=90°

∵ ∠AEF=∠ACF=90°

∴  A，E，C，F四点共圆------------6分

∴ ∠AFE=∠ACB=45°

∴ EA=EF------------7分

（2）如图连接OA，OB，
∵正方形ABCD的中心为O，∠OPB=45°，
∴∠OAB=∠OPB=45°，∠OBA=45°，OA=OB
∴O，P，A，B四点共圆，      ------------8分
∴∠APB=∠AOB=180°-45°-45°=90°，
在△PAB中由勾股定理得：PA²+PB²=AB²=1989，
由于PA：PB=5：14，
设PA=5x，PB=14x，
（5x）²+（14x）²=1989，
解得：x=3，
∴PB=14x=42．------------10分

   作OE⊥OP交PB于点E

∴OP=OE  

∵ ∠AOB=∠POE=90°

∴∠POA=∠EOB

∴△OPA≌△OEB

∴AP=BE=15

∴PE=PB-BE=27

∴OP=×27=------------12分