Question

14．如图，OA、OB是⊙O的半径，过点O作OC⊥OA，交弦AB于点D，点E是BD的垂直平分线与OC的交点，连接BE
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若∠OAB=22.5°，OA=1，求四边形AOBE的面积．

Answer 1

分析 （1）由OC⊥OA，得到∠AOD=90°，根据OA=OB，求得∠DAO=∠DBO，根据线段垂直平分线的性质得到ED=EB，求得∠EDB=∠EBD，等量代换得到∠ECO=90°，于是证得结论；
（2）由∠OAB=22.5°，求出∠OBD=22.5°，于是得到∠EBD=∠EDB=67.5°，推出∠DEB=45°，得到△BEO是等腰直角三角形，于是得到OE=$\sqrt{2}$，即可得到结果．

解答 解：（1）∵OC⊥OA，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OB，
∴∠DAO=∠DBO，
∵点E是BD的垂直平分线与OC的交点，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠ADO=∠EDB，
∴∠ECD+∠DBO=∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠ECO=90°，
∴BE是⊙O的切线；

（2）∵∠OAB=22.5°，
∴∠OBD=22.5°，
∴∠EBD=∠EDB=67.5°，
∴∠DEB=45°，
∴BE=OB=OA=1，
∴OE=$\sqrt{2}$，
∴S_{四边形AOBE}=S_△OBE+S_△AOE=$\frac{1}{2}×1×1$$+\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$$+\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．