Question

【题目】阅读下面的材料，并解决问题．

（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1-图3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数.

如图1，∠O＝　　　　　; 如图2，∠O＝　　　　　; 如图3，∠O＝　　　　　;如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　　　　．

（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°＋∠A.

（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．

Answer 1

【答案】（1）120°，30°，60°，50° ；（2）见解析；（3）∠A＝70°

【解析】

（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形外角性质进而即可求解∠O的大小；
（2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理即可用∠A来表示∠O；

（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．

解：（1）如图1，

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB =(∠ABC+∠ACB)

= (180°-∠BAC)

=(180°-60°)

=60°

∴∠O=180°-(∠OCB+∠OBC) =120°．
如图2，

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD，
∵∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠OCD=（∠ABC+∠A）=∠ABC+∠A，
∵∠OCD=∠OBC+∠O，
∴∠O=∠OCD-∠OBC=∠ABC+∠A-∠ABC=∠A=30°．

如图3，

∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD，
∴∠OBC=∠EBC，∠OCB=∠DCB，
∴∠OBC+∠OCB =(∠EBC+∠DCB)

= (∠A +∠ACB+∠DCB)

=(∠A +180°)

=(180°+60°)

=120°

∴∠O=180°-(∠OCB+∠OBC) =60°；
如图4，

∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，
∴∠O2BC=∠ABC，∠O2CB=∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1BC平分∠O2CB，
∴∠O2BC+∠O2CB = (∠ABC+∠ACB)，O1O2平分∠BO2C，

= (180°-∠BAC)

= (180°-60°)

=80°

∴∠BO2C=180°-(∠O2CB+∠O2BC) =100°，
∴∠BO2 O1= ∠BO2C =50°．

故答案是：120°，30°，60°，50° .

（2）∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，

∠O＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)

＝180°－(180°－∠A)

＝90°＋∠A.

（3）∵∠O2BO1=∠2－∠1=20° ，

∴∠ABC=3∠O2BO1=60°，∠O1BC＝∠O2BO1=20°，

∴∠BCO2＝180°－20°－135°＝25° ，

∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°，

∴∠A=180°－∠ABC－∠ACB=70° .