Question

【题目】如图，在以点为中心的正方形中，，连接，动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点停止．在运动过程中，的外接圆交于点，连接交于点，连接，将沿翻折，得到．

(1)求证：是等腰直角三角形；

(2)当点恰好落在线段上时，求的长；

(3)设点运动的时间为秒，的面积为，求关于时间的关系式．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)EH；(3).

【解析】

(1)由正方形的性质可得，再根据圆周角定理即可证得结论；

(2)设，连接，通过证明可得，再证明可得与t的关系式，进一步可表示的长，由得比例线段，进而求出的值，然后代入的表达式可求的值；

(3)由(2)知与t的关系式，再过点作于点，易证，于是，再根据三角形的面积公式即可求解．

(1)证明：∵四边形是正方形，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形；

(2)设，连接，如图，则，

∵，∴，

∴，∴，

又∵，，∴，

∴，∴，

又∵，∴，

∴，

当点恰好落在线段上时，，

∴，∴，

∵，∴，

∴，

∵FG=FH，∴，

解得：，(舍去)，

∴；

(3)过点作于点，由(2)得，

∵，，∴，

∴，

∴，

∴．