Question

【题目】如图，已知△ABP是等腰三角形，AB=BP，以AB为直径的⊙O交AP于点D，交BP于点C，连接BD交AC于点G，直线MN过点A，且∠PAM= ∠ABP．

（1）试说明直线MN是⊙O的切线．
（2）过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：△DFG是等腰三角形．
（3）连结FO，过点O作OQ⊥FO交BP于点Q，连结FQ，求证：FQ2=AF2+BQ2 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AP，

∵BA=BP，

∴BD平分∠ABP，即∠ABD= ∠ABP，

∵∠PAM= ∠ABP，

∴∠PAM=∠ABD，

∵∠ABD+∠BAD=90°，

∴∠PAM+∠BAD=90°，即∠BAM=90°，

∴AB⊥MN，

∴直线MN是⊙O的切线；

（2）

证明：∵DE⊥AB，

∴∠BDE+∠DBE=90°，

而∠DBA+∠DAB=90°，

∴∠BDE=∠DAE，

∵∠AGD=∠GBA+∠GAB

而∠GBA=∠DBC=∠DAC，

∴∠AGD=∠DAC+∠GAB=∠DAE，

∴∠BDE=∠AGD，

∴△DFG是等腰三角形；

（3）

延长QO到点K，使OK=OQ，如图，

∵OQ⊥OF，OQ=OK，即FO垂直平分QK，

∴FK=FQ，

在△OBQ和△OAK中，

，

∴△OBQ≌△OAK，

∴BQ=AK，∠OBQ=∠OAK，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠ABC=90°，

∴∠CAB+∠OAK=90°，即∠FAK=90°，

在Rt△AFK中，FK2=AF2+AK2，

∴FQ2=AF2+BQ2．

【解析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，而BA=BP，根据等腰三角形的性质得∠ABD= ∠ABP，加上∠PAM= ∠ABP，所以∠PAM=∠ABD，则利用∠ABD+∠BAD=90°可得∠PAM+∠BAD=90°，于是根据切线的判定定理可得直线MN是⊙O的切线；（2）先利用等角的余角相等得到∠BDE=∠DAE，再利用三角形外角性质得∠AGD=∠GBA+∠GAB，然后利用等量代换可得∠AGD=∠DAC+∠GAB=∠DAE，于是有∠BDE=∠AGD，根据等腰三角形的判定即可得到△DFG是等腰三角形；（3）延长QO到点K，使OK=OQ，如图，先证明FO垂直平分QK得到FK=FQ，再证明△OBQ≌△OAK得到BQ=AK，∠OBQ=∠OAK，接着根据圆周角定理得到∠ACB=90°，即∠CAB+∠ABC=90°，易得∠CAB+∠OAK=90°，即∠FAK=90°，然后在Rt△AFK中，根据勾股定理得到FK2=AF2+AK2 ， 再利用等线段代换即可得到结论．