Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+3与坐标轴交于A，B两点，设P，Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A，点O以每秒1个单位速度向终点B匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也停止移动，设移动时间为t秒．

（1）请写出点A，点B的坐标；
（2）试求△OPQ的面积S与移动时间t之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？并求出S的最大值；
（3）试证明无论t为何值，△OPQ都不会是等边三角形；
（4）将△OPQ沿直线PQ折叠，得到△O′PQ，问：△OPQ和O′PQ能否拼成一个三角形？若能，求出点O′的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当x=0时，y=3，即A（0.3），当y=0时，﹣ x+3=0，即B（4，0）；

（2）

解：如图1：作PD⊥x轴于D．

，

OQ=t，AP=t，PB=5﹣t，

sin∠B= = ，

PD=PBsin∠B= （5﹣t），

S= OQPD= t（5﹣t）=﹣ t2+ t，

当t= 时，s最大= ；

（3）

证明：∵OP=OQ=AP=PQ，∠POQ=∠OPQ=60°，

∴∠AOP=∠PAO=30°，

∴∠APO=120°，

∴∠BPQ=60°与∠OPQ=60°矛盾，

∴∠OPQ≠60°，即△OPQ都不会是等边三角形；

（4）

解：△OPQ和O′PQ不能拼成一个三角形，理由如下：

如图2，作PE⊥y轴于E点．

，

∵AP=OQ＞PE，

∴PQ∥y轴，

∴O点关于PQ的对称点O′不在x轴上，

∴O、Q、O′不在同一条直线上，

∴OPO′Q是四边形，

△OPQ和O′PQ不能拼成一个三角形．

【解析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（2）根据三角函数，可得PD的长，根据三角形的面积公式，可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等边三角形的性质，可得∠POQ=∠OPQ=60°，根据等腰三角形的性质，可得∠APO=120°，再根据邻补角，可得∠QPB的度数，根据∠QPB与∠OPQ的关系，可得答案；（4）根据轴对称的性质，可得O点关于PQ的对称点O′不在x轴上，根据四边形的定义，可得答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）)，还要掌握轴对称的性质(关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上)的相关知识才是答题的关键．