Question

如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，抛物线经过点A、B，且18+=0．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．

① 移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）y=x2-4x-12；（2）①S=-t2+6t，0＜t＜6；②抛物线上存在点R（3，-18），使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的对边相等求出点A、B的坐标，把两点的坐标代入抛物线解析式，再联立18a+c=0，解关于a、b、c的三元一次方程组，然后即可得到抛物线的关系式；

（2）①根据速度的不同，表示出BP、BQ的长度，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到S与t的关系式，根据速度分别求出点P与点Q的运动时间即可得到t取值范围；

②先根据二次函数的最大值问题求出S取最大值时的t的值，从而求出点P与点Q的坐标，再根据平行四边形的对边平行且相等，分QR与PB是对边时，PR与QB是对边时，两种情况求出点Q的坐标，然后代入抛物线解析式进行验证，如果点Q在抛物线上，则存在，否则不存在．

试题解析：（1）∵矩形OABC边长OA、OC分别为12cm和6cm，

∴点A、B的坐标分别为A（0，-12），B（6，-12），

又∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0，

∴，

解得，

∴抛物线解析式为y=x2-4x-12；

（2）①根据题意，PB=AB-AP=6-t，BQ=2t，

所以，S=PB•BQ=（6-t）×2t=-t2+6t，

即S=-t2+6t，

点P运动的时间为6÷1=6秒，

点Q运动的时间为12÷2=6秒，

所以，t的取值范围是0＜t＜6；

②抛物线上存在点R（3，-18），使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形．

理由如下：∵S=-t2+6t=-（t-3）2+9，

∴当t=3秒时，S取最大值，

此时，PB=AB-AP=6-t=6-3=3，

BQ=2t=2×3=6，

所以，要使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，

（i）当QR与PB是对边时，点R的横坐标是6+3=9，纵坐标是-（12-6）=-6，

所以点R的坐标为（9，-6），

此时×92-4×9-12=6≠-6，

所以点R不在抛物线上，

（ii）当PR与QB是对边时，点R的横坐标是3，纵坐标是-（12+6）=-18，

所以点R的坐标是（3，-18），

此时，×32-4×3-12=-18，

所以点R在抛物线上，

综上所述，抛物线上存在点R（3，-18），使P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形．

考点：二次函数综合题．