Question

1．如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的圆分别交AB，AC于点D，F．若E，D关于BC对称，连接EF交BC于点G，AG与CD相交于点P，则点P一定为△DFG的（　　）

• A． 外心
• B． 内心
• C． 垂心
• D． 以上答案都不对

Answer 1

分析 首先根据四点共圆得出∠ADF=∠BEF，然后根据E、D关于BC对称，证得∠BDG=∠ADF，又根据同弧（等弧）所对的圆周角相等得出∠EFC=∠DBC，∠BCF=∠BEF，以及互余两角之和为90°，最后证得GA为∠DGF的角平分线，得出点P为△DFG的角平分线的交点，证明点P为△DFG的内心．

解答 解：∵B、D、F、E四点共圆，
∴∠BDF+∠BEF=180°．
∵∠BDF+∠ADF=180°，
∴∠ADF=∠BEF．
∵E、D关于BC对称，
∴∠BDG=∠BEG，
∴∠BDG=∠ADF，
∵BC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠FDC=∠GDC，
∴CD为∠FDG的角平分线；
∵E、D关于BC对称，BC为直径，
∴$\widehat{EC}$=$\widehat{DC}$，
∴∠EFC=∠DBC，
∵$\widehat{BF}$所对的角为∠BCF、∠BEF，
∴∠BCF=∠BEF，
∵∠BDG=∠BEG，
∴∠BCF=∠BDG，
在△BDG和△FCG中，
∵∠BDG=∠FCG，∠DBG=∠CFG，
∴△BDG∽△FCG，
∴∠BGD=∠CGF，
∵∠AGB=∠AGC，
∴∠DGA=∠FGA，
∴GA为∠DGF的角平分线，
∵CD、AP交于点P，
∴点P为△DFG的内心．
故选B．

点评 本题考查了圆的综合应用，涉及了四点共圆、角平分线的判定、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握三角形角平分线的交点为三角形的内心，本题涉及知识点较多，难度较大．