Question

【题目】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么CB′的值是________________．

Answer 1

【答案】3或3-3或0

【解析】

分三种情况讨论：当AB'=EB'时，△AEB′是等腰三角形；当AE=AB'时，△AEB′是等腰三角形；当AE=B'E时，△AEB′是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到CB′的值．

解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=6，

∴∠B=60°，BC=3，

分三种情况讨论：

①如图所示，当点D与点C重合时，∠B=∠CB'E=60°，

∵∠A=30°，

∴∠AEB'=30°，

∴∠A=∠AEB'，

∴AB'=EB'，即△AEB′是等腰三角形，

此时，CB'=BC=3；

②如图所示，当AE=AB'时，△AEB′是等腰三角形，

∴∠AB'E=75°，

由折叠可得，∠DB'E=∠ABC=60°，

∴∠DB'C=45°，

又∵∠C=90°，

∴△DCB'是等腰直角三角形，

设CB'=x=DC，则BD=3﹣x=DB'，

∵Rt△DCB'中，x2+x2=（3﹣x）2，

解得x1=3﹣3，x2=﹣3﹣3（舍去），

∴CB'=3﹣3；

③如图所示，当点B'与点C重合时，∠B=∠DCE=60°，

∴∠EB'A=30°=∠A，

∴AE=B'E，即△AEB′是等腰三角形，

此时CB'=0，

综上所述，当△AEB′是等腰三角形时，CB′的值是3或3﹣3或0．

故答案为：3或3-3或0．