Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，C（1，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．当△PDE的周长最大时，求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）P（－，－）.

【解析】

（1）根据待定系数法即可求解；

（2）先求出点A的坐标，得出∠AEF＝45°，再根据，可得△PDE是等腰直角三角形，从而得到△PDE的周长与PE的关系式，可知PE最大时，△PDE的周长最大，设点F的横坐标为m，将PE用含m的式子表示，最后根据二次函数的性质即可求解．

（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（0，﹣3），C（1，0），

∴c=-3，1+b+c=0，

解得：b=2，c=-3，

∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）在y＝x2+2x﹣3中，y＝0时，x1＝1，x2＝﹣3，

∴A（﹣3，0），

∵B（0，-3），

∴OA＝OB＝3，

∴∠BAO＝45°，

∵PF⊥x轴，

∴∠AEF＝45°，

可得△PDE是等腰直角三角形，

由A（﹣3，0），B（0，3）得直线AB的解析式为：y=-x-3，

C△PDE=PE+PD+DP

=PE+PE+PE

=（+1）PE，

设P（m，m2+2m﹣3），则E(m，－m－3)，PE=－m2－3m

C△PDE=（+1）（－m2－3m）

=－（+1）（m+）2+（+1），

∴当m=－时，△PDE的周长越大，此时P点坐标为（－，－）.