Question

【题目】如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；

（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当t＝3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．

【解析】

（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；

（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为直线AB的解析式为y=2x-12，直线MN的解析式为y=2x-2t，再通过解方程组得N（），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM-S△NOM得到然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）设Q，根据相似三角形的判定方法，当时，△PQO∽△COA，则；当时，△PQO∽△CAO，则，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．

解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x＝3，

∴B点坐标为（6，0），

设抛物线解析式为y＝ax（x﹣6），

把A（8，4）代入得a82＝4，解得a＝，

∴抛物线解析式为y＝x（x﹣6），即y＝x2﹣x；

（2）设M（t，0），

易得直线OA的解析式为y＝x，

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，

∴直线AB的解析式为y＝2x﹣12，

∵MN∥AB，

∴设直线MN的解析式为y＝2x+n，

把M（t，0）代入得2t+n＝0，解得n＝﹣2t，

∴直线MN的解析式为y＝2x﹣2t，

解方程组得，则，

∴S△AMN＝S△AOM﹣S△NOM

，

当t＝3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；

（3）设，

∵∠OPQ＝∠ACO，

∴当时，△PQO∽△COA，即，

∴PQ＝2PO，即，

解方程得m1＝0（舍去），m2＝14，此时P点坐标为（14，0）；

解方程得m1＝0（舍去），m2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）；

∴当时，△PQO∽△CAO，即，

∴PQ＝PO，即，

解方程得m1＝0（舍去），m2＝8，此时P点坐标为（8，0）；

解方程得m1＝0（舍去），m2＝4，此时P点坐标为（4，0）；

综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．