Question

20．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）请你直接写出售价在什么范围时，每天的利润不低于150元？

Answer 1

分析 （1）设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；
（3）先把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，根据二次函数与一元二次不等式的关系求出x的取值范围．

解答 解：（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=40}\\{18k+b=24}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=60}\end{array}\right.$．
故y与x之间的函数关系式y=-2x+60（10≤x≤18）；
（2）W=（x-10）（-2x+60）
=-2x²+80x-600，
对称轴x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x=18时，W最大，最大为192．
即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．
（3）由150=-2x²+80x-600，
解得x₁=15，x₂=25，
∵W′=-2x²+80x-750，开口向下，
∴当15≤x≤25时，W′＞0，
又∵10≤x≤18，
∴当15≤x≤18时，每天的利润不低于150元．

点评 本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．