Question

15．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=10，BD=9．则下列结论错误的是（　　）

• A． AE∥BC
• B． △ADE的周长是19
• C． △BDE是等边三角形
• D． ∠ADE=∠BDC

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得∠ABC=∠C=60°，AC=BC=10，再根据旋转的性质得∠DBE=60°，BD=BE，AE=CD，∠EAB=∠C=60°，则∠EAB=∠ABC=60°，根据平行线的性质可对A选项进行判断；根据等边三角形的判定方法可对C选项进行判断；由于DE=BD=9，则可计算出△ADE的周长=DE+AC=19，于是可对B选项进行判断；先由△BDE是等边三角形得∠BDE=60°，再利用三角形外角性质可得∠ADE=∠DBC，然后根据三角形边角关系得∠BDC＞∠DBC，所以∠BDC＞∠ADE，于是可对D选项进行判断．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AC=BC=10，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠DBE=60°，BD=BE，AE=CD，∠EAB=∠C=60°，
∴∠EAB=∠ABC=60°，
∴AE∥BC；所以A选项的结论正确；
∵∠DBE=60°，BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，所以C选项的结论正确；
∴DE=BD=9，
∴△ADE的周长=DE+AE+AD=DE+CD+AD=DE+AC=9+10=19，所以B选项的结论正确；
∵△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∵∠ADB=∠DBC+∠C，
∴∠ADE+60°=∠DBC+60°，
∴∠ADE=∠DBC，
∵BC＞CD，
∴∠BDC＞∠DBC，
∴∠BDC＞∠ADE，所以D选项的结论错误．
故选D．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．