Question

4．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长．

Answer 1

分析 （1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长．

解答 解：（1）∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
又∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC；

（2）Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8cm，
∵△ACD∽△BAC，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
即$\frac{CD}{8}$=$\frac{8}{10}$，
解得：DC=6.4cm．

点评 此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．