Question

15．已知∠AOB=α°，过点O作OB⊥OC．请画图示意并求解．
（1）若α=30，则∠AOC=60°或120°；
（2）若α=40，射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOC，求∠EOF的度数；
（3）若0＜α＜180，射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOC，则∠EOF=$\frac{α}{2}$°．

Answer 1

分析 （1）由OB⊥OC可得出∠BOC=90°，分射线OA、OC在射线OB同侧和两侧讨论，结合图形即可得出结论；
（2）分射线OA、OC在射线OB同侧和两侧讨论，根据角平分线定义即可得出∠COE和∠COF的大小，结合图形即可求出∠EOF的度数；
（3）分射线OA、OC在射线OB同侧和两侧讨论，根据角平分线定义即可得出∠COE和∠COF的大小，结合图形即可求出∠EOF的度数．

解答 解：根据题意画出图形，如图所示．
（1）∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°．
当射线OA、OC在射线OB同侧时，∠AOC=∠BOC-∠AOB=60°；
当射线OA、OC在射线OB两侧时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°．
故答案为：60°或120°．
（2）当射线OA、OC在射线OB同侧时，
∵射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（∠BOC-∠AOB）=$\frac{1}{2}$×（90°-40°）=25°，∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°，
∴∠EOF=∠COF-∠COE=45°-25°=20°；
当射线OA、OC在射线OB两侧时，
∵射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（∠BOC+∠AOB）=$\frac{1}{2}$×（90°+40°）=65°，∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°，
∴∠EOF=∠COE-∠COF=65°-45°=20°．
综上可知：∠EOF的度数为20°．
（3）当射线OA、OC在射线OB同侧时，
∵射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（∠BOC-∠AOB）=$\frac{1}{2}$×（90°-α°）=45°-$\frac{α}{2}$°，∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°，
∴∠EOF=∠COF-∠COE=45°-（45°-$\frac{α}{2}$°）=$\frac{α}{2}$°；
当射线OA、OC在射线OB两侧时，
∵射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（∠BOC+∠AOB）=$\frac{1}{2}$×（90°+α°）=45°+$\frac{α}{2}$°，∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°，
∴∠EOF=∠COE-∠COF=（45°+$\frac{α}{2}$°）-45°=$\frac{α}{2}$°．
故答案为：$\frac{α}{2}$°．

点评 本题考查了垂直、角平分线的定义以及角的计算，依照题意画出图形利用数形结合解决问题是解题的关键．