Question

20．如图，P是正方形ABCD内的一点，AP=1，PB=$\sqrt{2}$，∠APB=135°，求PC的长．

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形，先证明△BPM是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PM=2，再证明△APM是直角三角形，利用勾股定理求出AM的长，由旋转得：PC=AM=$\sqrt{5}$．

解答 解：把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BMA，点C的对应点与A重合，连接PM，
由旋转得：PB=BM=$\sqrt{2}$，∠PBM=90°，PC=AM，
∴∠BPM=45°，
由勾股定理得：PM=$\sqrt{B{M}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{2+2}$=2，
∵∠APB=135°，
∴∠APM=135°-45°=90°，
在Rt△APM中，AP=1，
由勾股定理得：AM=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴PC=AM=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形、勾股定理，解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解．