Question

【题目】（知识情境）通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．

（1）如图1，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形．把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________；

（拓展探究）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．

如图3是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成块．

图3

（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为：

_________________________________________________________________；

（3）已知，，利用上面的恒等式求的值．

Answer 1

【答案】（1）a2-b2=(a+b)(a-b)（2）（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3（3）40

【解析】

（1）根据平方差公式的几何验证方法即可求解；

（2）根据正方体的体积公式和给出的条件即可得出答案；

（3）根据（2）得出的式子再进行转化，然后把a＋b＝4，ab＝2代入计算即可得出答案．

（1）图1的面积为：a2-b2, 图2的面积为(a+b)(a-b)

∴这个等式是a2-b2=(a+b)(a-b)

故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b)；

（2）图3的体积为：（a＋b）3或a3＋3a2b＋3ab2＋b3

∴这个等式是（a＋b）3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3

故答案为：（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；

（3）由（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

得：（a＋b）3＝a3＋3ab（a＋b）＋b3，

将a＋b＝4，ab＝2代入a3＋3ab（a＋b）＋b3

得：43＝a3＋3×2×4＋b3，

∴a3＋b3＝6424＝40．