Question

【题目】操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形上，并使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点．

探究：设，两点间的距离为．

（1）点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图1）；

（2）点在边上时设四边形的面积为，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围（如图2）；

（3）点在线段上滑动时，是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使成为等腰三角形的点的位置，并直接写出相应的的值；如果不可能，试说明理由（如图3）．（图4、图5、图6的形状、大小相同，图4供操作、实验用，图5和图6备用）．

Answer 1

【答案】（1），见解析；（2）（）；（3）可能成为等腰三角形，Q与点D重合时，x=0；Q在边DC的延长线上时，x=1

【解析】

（1）过点P作，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，和都是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质和等量代换证明，从而可证；

（2）设，然后分别表示出BM,CQ,PN的长度，然后利用和求出各自的面积 ，最后利用即可求解；

（3）分三种情况：点Q与点D重合；当点Q在边DC的延长线上；Q与点C重合，分别进行讨论即可得出答案．

（1），理由如下：

过点P作，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，

∵四边形ABCD是正方形，

∴．

,

，

，

∴和都是等腰直角三角形，

∴．

，

．

又∵，

．

，

，

；

（2）由（1）知，则，

∵，

，

，

，

，

∴，

即（）；

（3）可能成为等腰三角形，理由如下：

①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时，是等腰三角形，此时；

②当点Q在边DC的延长线上，且时，是等腰三角形，如图，

此时，

，

当时，解得；

③，Q与点C重合，, 不存在；

综上所述，当或时，为等腰三角形．