Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，若∠BCE=150°，∠ABE=60°， ∠DEC=45°，求α的值；

（3）如图3，若∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）30-α；（2）α=30°（3）△ABE是等边三角形，理由见解析.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，即可求出答案；

（2）连接AD，CD，由旋转的性质可证△BCD为等边三角形，根据SSS证明△ABD≌△ACD，可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC；根据AAS证明△ABD≌△EBC（AAS），可得∠EBC=∠ABD=30-α；然后再证明△DEC为等腰直角三角形，得到DC=CE=BC，根据∠EBC=30-α=15可求出α的值；

（3）由△ABD≌△EBC和∠ABE=60°，可证△ABE是等边三角形.

解：（1）∵AB=AC，∠A=α，

∴∠ABC=∠ACB= (180-∠A）=90-α，

∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，

∴∠ABD=30-α，

故答案为30-α；

（2）如图2，连接AD，CD，

∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，

则BC=BD，∠DBC=60°，

∵∠ABE=60°，

∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-α，且△BCD为等边三角形，

∴BD=CD，∠BDC=60°.

在△ABD与△ACD中,

，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，

∵∠BDC=60°，

∴∠ADB=∠ADC=150°，

∴∠ADB=∠BCE.

∵∠ABD=60°-DBE， ∠CBE=60°-∠DBE，

∴∠ABD=∠EBC.

在△ABD和△EBC中

，

∴△ABD≌△EBC（AAS），

∴∠EBC=∠ABD=30-α.

∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，

∴∠DCE=150°-60°=90°，

∵∠DEC=45°，

∴△DEC为等腰直角三角形，

∴DC=CE=BC，

∵∠BCE=150°,

∴∠EBC= (180°-150°)=15°，

∵∠EBC=30-α=15，

∴α=30°．

（3）△ABE是等边三角形，

由（2）知△ABD≌△EBC

∴AB=BE，

∵∠ABE=60°，

∴△ABE是等边三角形；