Question

5．如图，在x轴上有两点A（-3，0）和B（3，0），有一动点C在线段AB上从点A运动到点B（不与A，B重合），分别以AC，BC为底边作等腰△AEC和等腰△BFC，顶点E，F恰好落在反比例函数y=-$\frac{5}{x}$（x＜0）和y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，连结EF，在整个运动过程中，线段EF长度的变化情况是（　　）

• A． 一直增大
• B． 一直减小
• C． 先增大后减小
• D． 先减小后增大

Answer 1

分析 先过点E作EG⊥AO于G，过点F作FH⊥BC于H，再设E（x，-$\frac{5}{x}$），得出F（x+3，$\frac{2}{x+3}$），分三种情况讨论：当-3＜x＜-$\frac{5}{3}$时，当x=-$\frac{5}{3}$时，当-$\frac{5}{3}$＜x＜3时，分别判断线段EF长度的变化情况．

解答 解：过点E作EG⊥AO于G，过点F作FH⊥BC于H，则CG=$\frac{1}{2}$AC，CH=$\frac{1}{2}$BC，
又∵A（-3，0）和B（3，0），
∴GH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3，
当EF∥AB时，四边形EFHG是矩形，
此时，EF=GH=3，
设E（x，-$\frac{5}{x}$），则F（x+3，$\frac{2}{x+3}$），
∴在反比例函数y=-$\frac{5}{x}$中，当y=3时，x=-$\frac{5}{3}$；
当-3＜x＜-$\frac{5}{3}$时，过点E作ED⊥FH于D，
动点C在线段AB上从点A向点B运动时，DF的长减小，故Rt△DEF中，EF的长减小；
当x=-$\frac{5}{3}$时，EF的长最小，最小值为3；
当-$\frac{5}{3}$＜x＜3时，过点E作ED⊥FH的延长线于D，
动点C在线段AB上从点A向点B运动时，DF的长增大，故Rt△DEF中，EF的长增大；
综上所述，线段EF长度的变化情况是先减小后增大．
故选（D）

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是根据直角三角形的三边关系进行判断，解题时注意分类思想的运用．