Question

6．在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别在AB，BC上，若△DEF有一个角为60°，求证：△DEF一定是等边三角形．

Answer 1

分析 分三种情形讨论：①若∠EDF=60°，只要证明△DAE≌△DBF即可解决问题．②若∠DEF=60°，③若∠DFE=60°，②、③的证明可以转化为证明∠EDF=60°即可．

解答 证明：①若∠EDF=60°，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
∵AD=AB，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴AD=BD，∠ADB=60°．
∵∠ADE+∠EDB=60°，∠FDB+∠EDB=60°，
∴∠ADE=∠FDB．
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×120°=60°．
∴∠DAE=∠DBF．
在△DAE和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BDF}\\{AD=BD}\\{∠A=∠DBF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DBF（ASA）．
∴DE=DF．
又∵∠EDF=60°，
∴△EDF为等边三角形．
②若∠DEF=60°，
∵∠DEF=∠DBC=60°，
∴D、E、B、F四点共圆，
∴∠EDF+∠ABC=180°，
∴∠EDF=60°，
∴由（1）可知△DEF是等边三角形．
③若∠DFE=60°，
∵∠DFE=∠DBE=60°，
∴D、E、B、F四点共圆，
∴∠EDF+∠ABC=180°，
∴∠EDF=60°，
∴由（1）可知△DEF是等边三角形．

点评 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定、四点共圆、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会转化的思想解决问题，把②、③两种情形转化为①，属于中考常考题型．