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【题目】如图,中,的斜边在x轴的正半轴上,点A与原点重合,随着顶点AO点出发沿y轴的正半轴方向滑动,点B也沿着x轴向点O滑动,直到与点O重合时运动结束在这个运动过程中.

中点P经过的路径长______

C运动的路径长是______

【答案】

【解析】(1)根据直角三角形斜边中线等于斜边一半,确定中点P的运动路径:以O为圆心,以OP为半径的圆弧,半径OP=AB=2,代入周长公式计算即可;

(2)分为两种情况:

①当A从O到现在的点A处时,如图2,此时C′A⊥y轴,点C运动的路径长是CC′的长;

②当A再继续向上移动,直到点B与O重合时,如图3,此时点C运动的路径是从C′到C,长是CC′;

分别计算并相加

(1)如图1,∵∠AOB=90°,P为AB的中点,

∴OP=AB,

∵AB=

∴OP=2

∴AB中点P运动的轨迹是以O为圆心,以OP为半径的圆弧,

即AB中点P经过的路径长=×2×2π=π;

(2)①当A从O到现在的点A处时,如图2,此时C′A⊥y轴,

点C运动的路径长是CC′的长,

∴AC′=OC=8,

∵AC′∥OB,

∴∠AC′O=∠COB,

∴cos∠AC′O=cos∠COB=

∴OC′=4

∴CC′=4-8;

②当A再继续向上移动,直到点B与O重合时,如图3,

此时点C运动的路径是从C′到C,长是CC′,

CC′=OC′-BC=4-4,

综上所述,点C运动的路径长是:4-8+4-4=8-12;

故答案为:(1). (2).

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