Question

8．如图，已知正方形ABCD和等腰直角三角形△AEF，∠E=90°，AE和BC交于点G，AF和CD交于点H，正方形ABCD的面积为1cm²，则△CGH的周长为2．

Answer 1

分析 延长CB至M，使BM=DH，连接AM；先证明△ABM≌△ADH（SAS），得出AM=AH，∠BAM=∠DAH，证出∠MAG=∠HAG，再证明△AMB≌△AHG（SAS）得出GM=GH，即可求出结果．

解答 解：延长CB至M，使BM=DH，连接AM；如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的面积为1cm²，
∴AB=BC=CD=1，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABM=90°，
在△ABM和△ADH中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠ABM=∠D=90°}&{\;}\\{BM=DH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADH（SAS），
∴AM=AH，∠BAM=∠DAH，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠HAG=45°，
∴∠BAG+∠DAH=45°，
∴∠MAG=45°，
在△AMG和△AHG中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AH}&{\;}\\{∠MAG=∠HAG}&{\;}\\{AG=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMG≌△AHG（SAS），
∴GM=GH，
∴△CGH的周长=GH+CG+CH=GM+CG+CH
=BM+BG+CG+CH=DH+BG+CG+CH=BC+CD=2．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．