Question

13．平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（10，0），已知点C为中点，以c为圆心作圆，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．
（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长；
（2）当DE=8时，求线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=$\frac{1}{2}$AO=5，根据弧长公式求解；
（2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF即可．

解答 解：（1）连接BC，
∵A（10，0），
∴OA=10，CA=5，
∵∠AOB=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∴弧AB的长=$\frac{60π×5}{180}$=$\frac{5}{3}$π；

（2）①若D在第一象限，
连接OD，
∵OA是⊙C直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分线，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE=$\sqrt{O{D}^{2}-D{E}^{2}}$═8
∴AE=AO-OE=10-6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{EF}{OE}$，即$\frac{4}{8}=\frac{EF}{6}$，
∴EF=3；
②若D在第二象限，
连接OD，
∵OA是⊙C直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分线，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE=$\sqrt{O{D}^{2}-D{E}^{2}}$=6
∴AE=AO+OE=10+6=16，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{EF}{OE}$，即$\frac{16}{8}=\frac{EF}{6}$，
∴EF=12；
∴EF=3或12．

点评 本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，圆周角定理，弧长公式的运用．关键是理解题意，根据基本条件，图形的性质，分类求解，