Question

13．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=2，DF=8，则AB的长为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先证明∠ADE=∠DEC，设∠CED=x，则∠AED=2x，∠ADE=x，证明∠AED=∠AGE=2x，则AE=AG=4，由勾股定理计算AB的长即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠DEC，
设∠CED=x，则∠AED=2x，∠ADE=x，
在Rt△FAD中，G是DF的中点，DF=8，
∴AG=DG=4，
∴∠GAD=∠ADE=x，
∴∠AGE=∠GAD+∠ADE=2x，
∴∠AGE=∠AED=2x，
∴AE=AG=4，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{E}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质，还考查了等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质，设未知数，分别表示相关的角，根据等角对等边证明边相等，从而可以利用勾股定理计算边的长度．