Question

2．感知：如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，正方形CDEF的顶点D、F分别在边AC、BC上，易证：AD=BF（不需要证明）；
探究：将图①的正方形CDEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），连接AD、BF，其他条件不变，如图②，求证：AD=BF；
应用：若α=45°，CD=$\sqrt{2}$，BE=1，如图③，则BF=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 探究：证明△ADC≌△BFC，可得结论；
应用：过D作DG⊥AC于G，先根据勾股定理得：EC=2，得正方形边长为3，则AC=3，根据α=45°，得△DCG是等腰直角三角形，求出CG的长，则得AG的长，再次利用勾股定理求AD的长，即BF的长．

解答 证明：探究：如图②，
∵四边形CDEF为正方形，
∴CD=CF，
由旋转得：∠ACD=∠BCF，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∴△ADC≌△BFC，
∴AD=BF；
应用：如图③，∵四边形CDEF为正方形，
∴∠EDC=90°，ED=DC，
∵DC=$\sqrt{2}$，
∴EC=$\sqrt{E{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∴BC=BE+EC=1+2=3，
∴AC=BC=3，
过D作DG⊥AC于G，
∵α=45°，
即∠ACD=45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴DG=CG=1，
∴AG=BC-CG=3-1=2，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
同理得：△ADC≌△BFC，
∴BF=AD=$\sqrt{5}$．

点评 本题是四边形和图形旋转的综合题，考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的性质，熟知正方形的各边相等，各角都是90°，等腰直角三角形的两直角边相等，且锐角为45°；明确旋转角相等，同时利用三角形全等和勾股定理求边和角的度数，使问题得以解决．