Question

17．如图，∠MON=30°，点A、B分别为OM、ON上的点，AB=2，以AB为边作等边三角形ABC，则OC的最大值为2+2$\sqrt{3}$．（参考数据：tan75°=2+$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 当AB垂直∠MON的平分线时，OC最大，设AB交OC于D，根据等边三角形的性质得到AD=1，根据三角形的内角和得到∠OAH=75°，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：取AB的中点D，连接OD，CD，当O，C，D三点共线时，
OC有最大值，∵AB=2，△ABC是等边三角形，
∴AD=BD=1，
∵OC是∠MON的平分线，
∴∠MOC=15°，
∴∠OAD=75°，
∵tan∠OAD=tan75°=$\frac{OD}{BD}$=2+$\sqrt{3}$，
∴OD=2+$\sqrt{3}$，DC=$\sqrt{3}$，
∴OC=OD+CD=2+2$\sqrt{3}$．
故答案为：2+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，知道当AB垂直∠MON的平分线时，OC最大是解题的关键．