Question

【题目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE＝AD＋BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD－BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE＝BE－AD，证明见解析

【解析】

（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；
（2）与（1）证法类似可证出∠DAC=∠BCE，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，从而有DE=CE-CD=AD-BE；
（3）与（1）证法类似可证出∠DAC=∠BCE，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，于是有DE=CD-CE=BE-AD．

（1）证明：∵AD⊥MN,BE⊥MN

∴∠ADC＝∠CEB＝90°

∴∠DAC＋∠DCA＝90°

∵∠ACB＝90°

∴∠ECB＋∠DCA＝90°

∴∠DAC＝∠ECB

在△ACD和△CBE中，

∵

∴△ACD≌△CBE(AAS)

∴CE＝AD, CD＝BE

∵DE＝CE＋CD

∴DE＝AD＋BE

（2）证明：与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；

（3）DE＝BE－AD．证明如下：

证明：证明：∵AD⊥MN,BE⊥MN

∴∠ADC＝∠CEB＝90°

∴∠DAC＋∠DCA＝90°

∵∠ACB＝90°

∴∠ECB＋∠DCA＝90°

∴∠DAC＝∠ECB

在△ACD和△CBE中，

∵

∴△ACD≌△CBE(AAS)

∴CE＝AD, CD＝BE

∴DE=CD-CE= BE-AD；