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【题目】AB在数轴上分别表示数abAB之间的距离可表示为AB|ab|.已知数轴上AB两点分别表示有理数﹣1x

1)若AB4时,则x的值为 

2)当x7时,点AB分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度同时向数轴负方向运动.求经过多少秒后,点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍;

3)如图,点ABCD四点在数轴上分别表示的数为﹣4,﹣126.是否存在点P在数轴上,使得点P到这四点的距离总和的最小?若存在,请直接写点P的位置和距离总和的最小值.若不存在,请说明理由;

4)某一直线沿街有2020户民,假定相邻两户居民间隔相同,分别记为a1a2a3a4a5a2020.某餐饮公司想为这2020户居民提供早餐,决定在路旁建立一个快餐店P.请问点P选在何处,才能使这2020户居民到点P的距离总和最小?试说明原因.

【答案】13或﹣5;(2)经过秒或5秒后,点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍;(3)点PBC之间时,点P到这四点的距离总和的最小,其最小值为13;(4)点P选在a1020a1011之间,才能使这2020户居民到点P的距离总和最小,理由见解析.

【解析】

1)根据距离公式AB|ab|,分点B在点A左、右两侧两种情况解答即可;
2)设经过t秒后,点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍,则A点表示的数为(﹣1t),B点表示的数为(7t),然后分点B在原点左右两边,列方程可求得结果;
3)设P点表示的数为x,分别求出当x<﹣4时,当﹣4≤x<﹣1时,当﹣1≤x2时,当2≤x6时,当x≥6时,点P到这四点的距离总和,然后比较求出最小值即可;
4)根据两点之间的距离,先分析有2户居民点P的位置,有3户居民点P的位置,有4户居民点P的位置,,最后根据规律可得出有2020户居民点P的位置即可得到结论.

解:(1)∵AB4,数轴上AB两点分别表示有理数﹣1x

∴当B点在A点右边时,x=﹣1+43

B点在A点左边时,x=﹣14=﹣5

故答案为:3或﹣5

2)设经过t秒后,点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍,则A点表示的数为(﹣1t),B点表示的数为(7t),

①当B点在原点右边时,有OA|1t|t+1OB|72t|72t,则

t+1272t),

解得,t

②当B点在原点左边时,有OA|1t|t+1OB|72t|2t7,则

t+122t7),

解得,t5

综上,t5

答:经过秒或5秒后,点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍;

3)设P点表示的数为x,则

x<﹣4时,距离之和为﹣4x1x+2x+6x34x19

当﹣4≤x<﹣1时,距离为x+41x+2x+6x112x13

当﹣1≤x2时,距离为x+4+x+1+2x+6x13

2≤x6时,时,距离为x+4+x+1+x2+6x9+2x≥13

x≥6时,时,距离为x+4+x+1+x2+x64x3≥19

∴当﹣1≤x≤2时,点P到这四点的距离总和的最小,其最小值为13

即点PBC之间时,点P到这四点的距离总和的最小,其最小值为13

4)点P选在a1020a1011之间,才能使这2020户居民到点P的距离总和最小.

理由:若只有a1a2居民户,P建在a1a2之间任何一点位置时,2户居民到点P的距离和都为a1a2间的距离,比建在a1a2之外小;

若有a1a2a3三居民户,P建在a3处时,3户居民到点P的距离和最小,

若有a1a2a3a4四居民户,P建在a2a3之间任何一点位置时,4户居民到点P的距离和最小,

∴若有a1a2a3a4a5a20202020户,P建在a1010a1011之间任何一点位置时,才能使这2020户居民到点P的距离总和最小.

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