Question

【题目】如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；

（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，P（0，1）或 P（0，﹣1）

【解析】

（1）将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解；

（2）设P（x，0），由三角形的面积公式可求解；

（3）分两种情况讨论，由两点距离公式分别求出AP，AB，BP的长，由勾股定理可求解.

（1）把点A（1，a）代入y=﹣x+3，得a=2，

∴A（1，2），

把A（1，2）代入反比例函数y=，

∴k=1×2=2；

∴反比例函数的表达式为；

（2）∵一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点C，

∴C（3，0），

设P（x，0），

∴PC=|3﹣x|，

∴S△APC=|3﹣x|×2=5，

∴x=﹣2或x=8，

∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；

（3）存在，

理由如下：联立，

解得：或，

∴B点坐标为（2，1），

∵点P在y轴上，

∴设P（0，m），

∴AB=，AP=，PB=,

若BP为斜边，

∴BP2=AB2+AP2 ，

即 =2+，

解得：m=1，

∴P（0，1）；

若AP为斜边，

∴AP2=PB2+AB2 ，

即 =+2，

解得：m=﹣1，

∴P（0，﹣1）；

综上所述：P（0，1）或 P（0，﹣1）.