Question

6．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．
（1）如图1，∠A=90°，则∠BOC=135°；
（2）如图2，∠A=80°，求∠BOC的度数；
（3）从上述计算中，你能发现∠BOC与∠A的关系吗？请直接写出∠B0C与∠A的关系．

Answer 1

分析 （1）求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）与（1）同理可得结果；
（3）由（1）结论可得$∠BOC=135°=90°+\frac{1}{2}∠A$，（2）同理可得$∠BOC=90°+\frac{1}{2}×80°=90°+\frac{1}{2}∠A$，可得结论．

解答 解：（1）∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=90°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=45°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-45°=135°，
故答案为：135；

（2）∵在△ABC中，∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×100°=50°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-50°=130°；

（3）∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
即：∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．