【题目】如图,O为原点,线段AB的两个端点A(0,2),B(1,0)分别在y轴和x轴的正半轴上,点C为线段AB的中点,现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD,连结CD,某抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点D、点E(1,1).
(1)若该抛物线过原点O,则a= ;
(2)若点Q在抛物线上,且满足∠QOB与∠BCD互余,要使得符合条件的Q点的个数是4个,则a的取值范围是 .
【答案】(1)﹣(2)a<﹣或a>
【解析】
试题分析:(1)过点D作DF⊥x轴于点F,先通过三角形全等求得D的坐标,把D、E的坐标和c=0代入y=ax2+bx+c,根据待定系数法即可求得;
(2)若符合条件的Q点的个数是4个,则当a<0时,抛物线交于y轴的负半轴,当a>0时,抛物线与直线OQ:y=﹣x有两个交点,得到方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x,根据根与系数的关系得出不等式,解不等式即可求得.
解:(1)①过点D作DF⊥x轴于点F,如图1,
∵∠DBF+∠ABO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠DBF=∠BAO,
又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD,
在△AOB和△BFD中,
,
∴△AOB≌△BFD(AAS)
∴DF=BO=1,BF=AO=2,
∴D的坐标是(3,1),
把D(3,1),E(1,1),O(0,0)代入y=ax2+bx+c,
得,
解得a=﹣,
故答案为﹣;
(2)如图2,∵D(3,1),E(1,1),
抛物线y=ax2+bx+c过点E、D,代入可得,解得,所以y=ax2﹣4ax+3a+1.
分两种情况:
①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时,若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个,则点Q在x轴的上、下方各有两个.
(i)当点Q在x轴的下方时,直线OQ与抛物线有两个交点,满足条件的Q有2个;
(ii)当点Q在x轴的上方时,要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上,与y轴的交点在y轴的负半轴,所以3a+1<0,解得a<﹣;
②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时,点Q在x轴的上、下方各有两个,
(i)当点Q在x轴的上方时,直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,符合条件的点Q有两个;
(ii)当点Q在x轴的下方时,要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,符合条件的点Q才两个.
根据(2)可知,要使得∠QOB与∠BCD互余,则必须∠QOB=∠BAO,
∴tan∠QOB=tan∠BAO==,此时直线OQ的斜率为﹣,则直线OQ的解析式为y=﹣x,要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点,所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有两个不相等的实数根,所以△=(﹣4a+)2﹣4a(3a+1)>0,即4a2﹣8a+>0,解得a>(a<舍去)
综上所示,a的取值范围为a<﹣或a>.
故答案为a<﹣或a>.
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【题目】如图,点D是线段BC的中点,分别以点B,C为圆心,BC长为半径画弧,两弧相交于点A,连接AB,AC,AD,点E为AD上一点,连接BE,CE.
(1)求证:BE=CE;
(2)以点E为圆心,ED长为半径画弧,分别交BE,CE于点F,G.若BC=4,EB平分∠ABC,求图中阴影部分(扇形)的面积.
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【题目】如图,已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,与函数y=2x的图象交于点M,点M的横坐标为2,在x轴上有一点P(a,0)(其中a>2),过点P作x轴的垂线,分别交函数y=﹣x+b和y=2x的图象于点C,D.
(1)求点A的坐标;
(2)若OB=CD,求a的值.
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【题目】如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,FG平分∠EFD .
(1)若∠1=54° ,求∠2的度数(完成填空).
解:(1)∵AB∥CD(已知)
∴∠ = 180 ° -∠1( )
∵ FG平分∠EFD,∠1=54°(已知)
∴∠GFD=∠EFD = °
∵ AB∥CD
∴∠2 = - ∠GFD = ° (两直线平行,同旁内角互补)
(2)作∠FGB 的角平分线GH交CD于点H. 若GH∥EF 时,求∠1的度数.
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【题目】为执行“均衡教育”政策,某县2014年投入教育经费2500万元,预计到2016年底三年累计投入1.2亿元.若每年投入教育经费的年平均增长 百分率为x,则下列方程正确的是( )
A.2500(1+x)2=1.2 B.2500(1+x)2=12000
C.2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=1.2 D.2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000
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【题目】据有关资料显示,2014年通过国家科技支撑计划,遵义市获得国家级科技专项重点项目资金5533万元,将5533万用科学记数法可表示为( )
A.5.533×108
B.5.533×107
C.5.533×106
D.55.33×106
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