Question

如图，四边形ABCD中，已知AB=10，CD=12，对角线BD平分∠ABC，∠ADB=45°，∠BCD=90°，则边BD的长度为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：如图，作辅助线；首先证明△FBD∽△GDA，进而得到DG•DF=BF•AG①；设BE=λ，将①式中的线段分别用λ来表示，得到关于λ的方程，解方程即可解决问题．

解答：解：如图，过点D作DE⊥AB于点E；在ED上截取EF=EB，EG=EA；
连接AG，BF；则∠BFE=∠AGE=45°，
∴∠BFD=∠DGA=135°；
∵BD平分∠ABC，且∠BCD=90°，
∴DE=DC=12，BE=BC；
∵∠FBD+∠BDF=∠BDF+∠ADG=45°，
∴∠FBD=∠GDA；
∴△FBD∽△GDA，
∴

BF

DG

=

DF

AG

，即DG•DF=BF•AG；
设BE=λ，则DF=12-λ，EG=EA=10-λ；
BF=

2

λ，AG=

2

EG=

2

（10-λ），
∴（λ+2）（12-λ）=

2

（10-λ）

2

λ，
整理得：λ²-10λ+24=0，
解得：λ=4或6，
即边BC的长度为4或6．
由勾股定理得：BD²=BC²+CD²，
∴BD=4

10

或6

5

故答案为：4

10

或6

5

．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形；灵活运用有关定理来分析、判断、解答是关键．