Question

16．如图，∠BDC=2∠ACB，CE=BD，EF∥AB，求证：AB=FB．

Answer 1

分析 如图，作点F关于直线BC的对称点F′，连接F′B、F′C、F′A．则有CF=CF′，∠ACN=∠F′CB，∠BFC=∠BF′C，由EF∥AB，推出$\frac{CF′}{AC}$=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{BD}{CD}$，得到$\frac{CF′}{BD}$=$\frac{AC}{DC}$，推出△ACF′∽△CDB，得∠ABC=∠AF′C，推出A、B、F′、C四点共圆，由此可以证明∠BAF=∠BFA，即可解决问题．

解答 证明：如图，作点F关于直线BC的对称点F′，连接F′B、F′C、F′A．则有CF=CF′，∠ACN=∠F′CB，∠BFC=∠BF′C．

∵EF∥AB，
∴$\frac{CF′}{AC}$=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{CF′}{BD}$=$\frac{AC}{DC}$，
∵∠BDC=2∠ACB=∠ACF′，
∴△ACF′∽△CDB，
∴∠ABC=∠AF′C，
∴A、B、F′、C四点共圆，
∴∠BF′C+∠BAC=180°，
∵∠BFA+∠BFC=180°，∠BFC=∠BF′C，
∴∠BAF=∠BFA，
∴AB=FB．

点评 本题考查四点共圆、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会利用对称的方法添加辅助线，题目有一定的难度．