Question

【题目】如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点,OC平分∠AOB交AB于点C,点D为线段AB上一点,过点D作DE//OC交y轴于点E,已知AO=m,BO=n,且m、n满足n2-12+36+|n-2m|=0.

(1)求A、B两点的坐标?

(2)若点D为AB中点,求OE的长?

(3)如图2,若点P(x,-2x+6)为直线AB在x轴下方的一点,点E是y轴的正半轴上一动点,以E为直角顶点作等腰直角△PEF,使点F在第一象限,且F点的横、纵坐标始终相等,求点P的坐标.

Answer 1

【答案】(1) 点A为（3,0），点B为（0,6）;(2) OE=1.5;(3) 点P为（6，-6）.

【解析】分析：（1）根据非负数的性质，得出方程（n-6）2=0，|n-2m|=0，求得m=3，n=6，即可得到A、B两点的坐标；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG=DF，连接BG，构造全等三角形，再根据BG=BE列出关于x的方程，即可求得OE的长；（3）分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），构造全等三角形，再根据F点的横坐标与纵坐标相等，得出方程m+2x-6=m+x，解得：x=6，即可得到点P为（6，-6）．

本题解析：

（1）∵

∴

∵，

∴,

∴ m=3，n=6

∴点A为（3,0），点B为（0,6）

（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG=DF，连接BG

设OE=x

∵OC平分∠AOB

∴∠BOC=∠AOC=45°

∵DE∥OC

∴∠EFO=∠FEO=∠BEG=∠BOC=∠AOC=45°

∴OE=OF=x

在△ADF和△BDG中

∵

∴△ADF≌△BDG（SAS）

∴BG=AF=3+x，∠G=∠AFE=45°

∴∠G=∠BEG=45°

∴BG=BE=6-x

∴6-x=3+x

解得：x=1.5

∴OE=1.5

（3）分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N

设点E为（0，m）

∵点P的坐标为（x，-2x+6）

则PN=x，EN=m+2x-6

∵∠PEF=90°

∴∠PEN+∠FEM=90°

∵FM⊥y轴

∴∠MFE+∠FEM=90°

∴∠PEN=∠MFE

在△EFM和△PEN中

∵

∴△EFM≌△PEN（AAS）

∴ME=NP=x，FM=EN=m+2x-6

∴点F为（m+2x-6，m+x）

∵F点的横坐标与纵坐标相等

∴m+2x-6=m+x

解得：x=6

∴点P为（6，-6）