Question

【题目】如图，在平面直角坐标系，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．

　　　　　　　

　　　　　　　备用图

（1）求抛物线的解析式．

（2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于．

①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长；

②点为轴左侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或；②或．

【解析】

（1）用待定系数法求解即可；

（2）①将点E代入抛物线解析式，计算点E，得出AB，AE，BE长度，证得，然后分为与两种情况进行讨论即可；

②根据题意信息，求得直线CE的解析式，通过角度转化，结合锐角三角函数，相似成比例，求得点H的坐标．

解：（1）将、、代入得，

解得：

抛物线的解析式为：；

（2）①将代入中，

得，

解得或（舍去）

，

、，

，，，

，

，

，

，

（I）当时，

与点重合，

图1

（II）当时，

，

，

，

故：的长为或；

图2

②点的坐标为或

（I）过点作于点，过点作于点，

，

又，

，

，

，

，

，，

直线的解析式为，

，

，

，

，

，

，

又，

点的纵坐标为，代入中，得：或（舍去）

，

，，，

设，则，，

，

解得，，

点的横坐标为，代入，得：，

点的坐标为．

图3

（II）过点作，过点作于点，过点作于点，

，

，

由（I）知：，则，

，

又，

，

，

，

由（I）知：

则，

设，则，

，，

，

，，又，

，代中，得，或（舍去）

，

点的横坐标为，代入，得，．

点的坐标为

图4

综合以上可得点的坐标为或．