Question

【题目】在Rt△ABC中，∠C＝90°．

(1)按要求尺规作图，保留作图痕迹

①作∠ABC平分线交AC于F点，

②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆⊙M；

(2)在（1）所作图形中，证明⊙M与边AC相切；

(3)在（1）所作图形中，若∠CFB＝∠CBA，BC＝3，求⊙M的半径．

Answer 1

【答案】(1)①作图见解析；②作图见解析；(2)证明见解析；(3)

【解析】

（1）①根据尺规作图过程作∠ABC平分线交AC于F点即可；②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径做⊙M即可；

②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆⊙M与边AC相切；

（2）在（1）所作图形中，根据切线的判定得出FM⊥AC，即可证明⊙M与边AC相切；

（3）在（1）所作图形中，根据∠CFB＝∠CBA，BC＝3，角平分线的性质，求出∠A的度数，即可求⊙M的半径．

解：（1）如图所示①BF即为所求；

②如图所示⊙M为所求；

（2）证明：∵M在BF的垂直平分线上，

∴MF＝MB，

∴∠MBF＝∠MFB，

又∵BF平分∠ABC，

∴∠MBF＝∠CBF，

∴∠CBF＝∠MFB，

∴MF∥BC，

∵∠C＝90°，

∴FM⊥AC，

∴⊙M与边AC相切；

（3）∵∠CFB＝∠CBA，

∴∠A＝∠CBF，

∴∠A＝∠CBF＝∠ABF，

∴∠A＝30°，

∵BC＝3，

∴AB＝6，

设⊙M的半径为x，

∴MF＝MB＝x，则AM＝2x，

∵MB+AM＝AB，

∴3x＝6，

∴x＝2，

∴⊙M的半径为2．