Question

7．如图，正五边形ABCDE中，连接EC，AC，BE，且AC和BE交于点F，则F为AC的黄金分割点．那么△ABF和△ECF的面积之比为=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根据正五边形的性质证明AB∥CE，则可判定△ABF∽△ECF，根据相似三角形的性质得$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△ECF}}$=（$\frac{AF}{FC}$）²，再利用黄金分割点的定义得到AF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$FC，然后进行二次根式的计算即可．

解答 解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠EAB=∠ABC=108°，EB=EC，∠ABE=36°，∠EBC=72°，
∴∠BEC=36°，
∴AB∥CE，
∴△ABF∽△ECF，
∴$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△ECF}}$=（$\frac{AF}{FC}$）²，
∵F为AC的黄金分割点，
∴AF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$FC，
∴$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△ECF}}$=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．
故答案为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了正五边形的性质．