Question

5．某课外学习小组在一次学习研究中发现，在正三角形ABC中，若M、N分别是AC、AB上的点，BM、CN相交于点O，∠BON=60°，则BM=CN．
（1）在正方形ABCD中仍有类似的结论成立，请写出相应结论；
（2）试探讨在正五边形中的类似情况．

Answer 1

分析 正三角形ABC中，可通过全等三角形来证明BM=CN，由于∠BON=∠MBC+∠BCO=60°，而∠ACB=∠ACN+∠OCB=60°，因此∠ACN=∠MBC，又知道∠A=∠BCM=60°，AC=BC，因此△ACN≌△CBM，可得出BM=CN；
正方形和正五边形的证明过程与正三角形的一样，都是通过全等三角形来得出线段的相等，证三角形的过程中都是根据∠BON和多边形的内角相等得出一组两三角形中的一组对应角相等，然后根据正多边形的内角和边相等，得出△BCM和△CND全等，进而得出BM=CN．

解答 证明：在图一中，
∵△ABC是正三角形，
∴BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°，
∵∠BON=60°，
∴∠CBM+∠BCN=60°．
∵∠BCN+∠ACN=60°，
∴∠CBM=∠ACN．
∴△BCM≌△CAN（ASA）．
∴BM=CN．
（1）如图二，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN．
证明：在图二中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°．
∵∠BON=90°，
∴∠CBM+∠BCN=90°．
∵∠BCN+∠DCN=90°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．
（2）如图三，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点，若∠BON=108°，则BM=CN．
证明：在图三中，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°．
∵∠BON=108°，
∴∠CBM+∠BCN=108°．
∵∠BCN+∠DCN=108°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN

点评 本题主要考查了全等三角形，正多边形等几何知识，是一道几何型探究题．很好地体现了从一般到特殊的数学思想方法，引导学生渐渐地从易走到难．