Question

13．已知正方形ABCD的边长为6，E、F分别为AD、CD的中点，AF、BE交于P，求CP的长．

Answer 1

分析 由四边形ABCD 是正方形，于是得到AB=AD=CD=BC，∠BAE=∠D=90°，由于E、F分别为AD、CD的中点，得到AE=$\frac{1}{2}AD$，DF=$\frac{1}{2}$CD，推出△ADF≌△ABE，得到∠DAF=∠ABE，推出AF⊥BE，延长BC，AF交于G，证得△ADF≌△GCF得到CG=AD，等量代换得到BC=CG，然后根据直角三角形的性质即可得到结果．

解答 解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，
∠BAE=∠D=90°，
∵E、F分别为AD、CD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}AD$，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=DF，
在△ADF与△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠BAD}\\{DF=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABE，
∴∠DAF=∠ABE，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠APE=90°，
∴AF⊥BE，
延长BC，AF交于G，
在△ADF与△CGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠DCG=90°}\\{DF=CF}\\{∠AFD=∠GFC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF
∴CG=AD，
∴BC=CG，
∵BE⊥AF，∴∠BPG=90°，
∴PC=$\frac{1}{2}$BG=BC=6．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，本题中求证△ABF≌△DAE和△ABF≌△MCF是解题的关键．