Question

【题目】在平面直角坐标系中，BC∥OA，BC=3，OA=6，AB=3

（1）直接写出点B的坐标

（2）已知D.E分别为线段OC.OB上的点，OD=5，OE=2BE，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式

（3）在（2）的条件下，点M是直线DE上的一点，在x轴上方是否存在另一个点N，使以O.D.M.N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）B（3,6） (2) y=-x+5 (3) 存在N1 （4,8） N2 （-5,2.5）N3（-2,）

【解析】分析：（1）作BH⊥x轴于点H，则四边形OHBC为矩形，则OH=CB=3，进而可求得AH的长，在Rt△ABH中，根据勾股定理即可求出BH的长，由此可得B点坐标；
（2）作EG⊥x轴于点G,则EG∥BH，易得根据相似三角形的对应边成比例可求出EG、OG的长，即可得到E点的坐标，进而可用待定系数法求出直线DE的解析式；
（3）此题应分情况讨论：
①以OD、ON为边的菱形ODMN，根据直线DE的解析式可求出F点的坐标，即可得到OF的长；过M作 轴于P，通过构建的相似三角形可求出M点的坐标，将M点向下平移OD个单位即可得到N点的坐标；
②以OD、OM为边的菱形ODNM，此时MN∥y轴，延长NM交x轴于P，可根据直线DE的解析式用未知数设出M点的坐标，进而可在中，由勾股定理求出M点的坐标，将M点向上平移OD个单位即可得到N点的坐标；
③以OD为对角线的菱形OMCN，根据菱形对角线互相垂直平分的性质即可求得M、N的纵坐标，将M点纵坐标代入直线DE的解析式中即可求出M点坐标，而M、N关于y轴对称，由此可得到N点的坐标．

详解：(1)作BH⊥x轴于点H，则四边形OHBC为矩形，

∴OH=CB=3，

∴AH=OAOH=63=3，

在Rt△ABH中,

∴点B的坐标为(3,6)；

(2)作EG⊥x轴于点G,则EG∥BH，

∴△OEG∽△OBH，

∴

又∵OE=2EB，

∴ ∴

∴OG=2，EG=4，

∴点E的坐标为(2,4)，

又∵点D的坐标为(0,5)，

设直线DE的解析式为y=kx+b，

则

解得

∴直线DE的解析式为：

(3)答：存在；

①如图1,当OD=DM=MN=NO=5时,四边形ODMN为菱形.作MP⊥y轴于点P,则MP∥x轴,MPD∽△FOD

∴

又∵当y=0时,

解得x=10，

∴F点的坐标为(10,0)，

∴OF=10，

在Rt△ODF中,

∴

∴

∴点M的坐标为

∴点N的坐标为

②如图2,当OD=DN=NM=MO=5时,四边形ODNM为菱形,延长NM交x轴于点P,则MP⊥x轴.

∵点M在直线上，

∴设M点坐标为

在Rt△OPM中,

∴

解得： (舍去)，

∴点M的坐标为(4,3)，

∴点N的坐标为(4,8)；

③如图3,当OM=MD=DN=NO时,四边形OMDN为菱形,连接NM,交OD于点P,则NM与OD互相垂直平分,

∴

∴

∴

∴

∴点N的坐标为

综上所述,x轴上方的点N有三个,分别为