Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）A（1，4）；y=﹣x2+2x+3；（2）当t=2时，S△ACG的最大值为1；（3）t=20﹣8 或t= ．

【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x-1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=-2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4-t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4-、点A到GE的距离为，C到GE的距离为2-；最后根据三角形的面积公式可以求得S△ACG=S△AEG+S△CEG=-（t-2）2+1，由二次函数的最值可以解得t=2时，S△ACG的最大值为1；（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上．

试题解析：

(1)A(1，4).

由题意知，可设抛物线解析式为y=a(x1)2+4，

∵抛物线过点C(3，0)，

∴0=a(31)2+4，

解得，a=1，

∴抛物线的解析式为y=(x1)2+4,即y=x2+2x+3.

(2)∵A(1，4)，C(3，0)，

∴可求直线AC的解析式为y=2x+6.

∵点P(1，4t).

∴将y=4t代入y=2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+.

∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4.

∴GE=(4)(4t)=t.

又∵点A到GE的距离为,C到GE的距离为2，

即S△ACG=S△AEG+S△CEG=EG+EG(2)

=2(t)= (t2)2+1.

当t=2时，S△ACG的最大值为1.

(3)第一种情况如图1所示,点H在AC的上方,由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t,

根据△APE∽△ABC，知

，即，解得t=20；

第二种情况如图2所示，

点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t,EM=2t，MQ=42t.

则在直角三角形EMQ中,根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2t)2+(42t)2=t2，

解得,t1=,t2=4(不合题意,舍去).

综上所述,t=20或t=.